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高三数学章末综合测试题（5）三角函数、解三角形

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．已知角的终边过点P(－8m，－6sin30)，且cos＝－45，则m的值为()

A．－12B.12C．－32D.32

解析：∵|OP|＝64m2＋9，且cos＝－8m64m2＋9＝－45，

m＞0，且64m264m2＋9＝－1625＝－45，m＝12.

答案：B

2．已知扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()

A．1B．4C．1或4D．2或4

解析：设扇形的圆心角为rad，半径为R，

则2R＋R＝6，12R2＝2，解得＝1，或＝4.

答案：C

3．已知函数f(x)＝sinx＋3(＞0)的最小正周期为，则该函数图像()

A．关于直线x＝4对称B．关于点(3，0)对称

C．关于点(4，0)对称D．关于直线x＝3对称

解析：∵T＝，＝2.

∵当x＝4时，f(x)＝12；当x＝3时，f(x)＝0，图像关于(3，0)中心对称.

答案：B

4．要得到函数y＝cos2x的图像，只需将函数y＝cos2x－3的图像()

A．向右平移6个单位B．向右平移3个单位

C．向左平移3个单位D．向左平移6个单位

解析：由cos2x＝cos2x－3＋3＝cos2x＋6－3

知，只需将函数y＝cos2x－3的图像向左平移6个单位.

答案：D

5．若2a＝3sin2＋cos2，则实数a的取值范围是()

A.0，12B.12，1

C.－1，－12D.－12，0

解析：∵3sin2＋cos2＝2sin2＋6，又34＜2＋6＜56，1＜2sin2＋6＜2，

即1＜2a＜2，0＜a＜12.

答案：A

6．函数y＝3sin－2x－6(x[0，])的单调递增区间是()

A.0，512B.6，23

C.6，1112D.23，1112

解析：∵y＝－3sin2x＋6，由2k＋22x＋62k＋32，kZ，得

k＋6xk＋23，kZ.又x[0，]，k＝0.此时x6，23.

答案：B

7．已知tan＝12，tan(－)＝－25，那么tan(2－)的值是()

A．－112B.112C.322D.318

解析：tan(2－)＝tan[＋(－)]＝tan＋tan(－)1－tantan(－)＝12－251－12－25＝112.

答案：B

8．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当x0，2时，f(x)＝sinx，则f53的值为()

A．－12B.12C．－32D.32

解析：f53＝f53－2＝f－3＝f3＝sin3＝32.

答案：D

9．已知cos4＋cos4－＝14，则sin4＋cos4的值等于()

A.34B.56C.58D.32

解析：由已知，得sin4－cos4－＝14，即12sin2－2＝14，cos2＝12.

sin22＝1－122＝34。则sin4＋cos4＝1－2sin2cos2＝1－12sin22＝1－38＝58.

答案：C

10．已知、为锐角，且sin＝55，sin＝1010，则＋＝()

A．－34B.4或34C.34D.4

解析：∵、为锐角，且sin＝55，sin＝1010，

cos＝255，cos＝31010，且＋(0，)，cos(＋)＝coscos－sinsin

＝65050－5050＝55050＝22，＋＝4.

答案：D

11．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为()

A．等边三角形B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

解析：∵cos2B2＝a＋c2c，2cos2B2－1＝a＋cc－1，

cosB＝ac，a2＋c2－b22ac＝ac，c2＝a2＋b2，故△ABC为直角三角形．

答案：B

12．在沿海某次台风自然灾害中，台风中心最大风力达到10级以上，大风降雨给沿海地区带为严重的灾害，不少大树被大风折断，某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45角，树干也倾斜为与地面成75角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()

A.2063米B．106米C.1063米D．202米

解析：设折断点与树干底部的距离为x米．

则xsin45＝20sin(180－75－45)＝20sin60，

x＝20sin45sin60＝2023＝2063(米).

答案：A

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．若4是函数f(x)＝sin2x＋acos2x(aR，且为常数)的零点，则f(x)的最小正周期是__________．

解析：由题意，得f4＝sin2＋acos24＝0，1＋12a＝0，a＝－2.

f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝2sin2x－4－1，

f(x)的最小正周期为.

答案：

14．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB.sinAcosB＝34，则△ABC的形状为__________．

解析：∵tanA＋tanB＝3(tanAtanB－1)，

tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，tanC＝3，又C(0，)，C＝3.

sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝32，

cosAsinB＝34，sinAcosB＝cosAsinB，sin(A－B)＝0，A＝B.

△ABC为正三角形．

答案：正三角形

15．若将函数y＝tanx＋4(＞0)的图像向右平移6个单位后，与函数y＝tanx＋6的图像重合，则的最小值为__________．

解析：由已知，得tanx－6＋4＝tanx－6＋4＝tanx＋6，得4－6＝k＋

6(kZ)，＝－6k＋12(kZ)．∵＞0，当k＝0时，的最小值为12.

答案：12

16．给出下列命题：

①半径为2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12；

②若、为锐角，tan(＋)＝12，tan＝13，则＋2＝4；

③若A、B是△ABC的两个内角，且sinA＜sinB，则BC＜AC；

④若a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，且a2＋b2－c2＜0，则△ABC是钝角三角形．

其中真命题的序号是__________．

解析：①中，S扇形＝12R2＝121222＝1，

①不正确．

②中，由已知可得tan(＋2)＝tan[(＋)＋]＝tan(＋)＋tan1－tan(＋)tan＝13＋121－1312＝1，

又、为锐角，tan(＋)＝12＞0，0＜＋＜2.

又由tan＝13＜1，得0＜＜4，0＜＋2＜34，＋2＝4.②正确．

③中，由sinA＜sinBBC2R＜AC2R(2R为△ABC的外接圆半径)BC＜AC.③正确．

④中，由a2＋b2－c2＜0知，cosC＜0，

C为钝角，△ABC为钝角三角形．④正确．

答案：②③④

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．(10分)已知sin＝－55，tan＝－13，且、－2，0.

(1)求＋的值；(2)求2sin＝4－＋cos4＋的值．

解析：(1)∵sin＝－55，－2，0，cos＝255.tan＝－12，

tan(＋)＝tan＋tan1－tantan＝－1.又∵－＜＋＜0，＋＝－4.

(2)由(1)知，＋＝－4，

2sin4－＋cos4＋＝2sin4－＋cos4－4－＝2sin4－＋cos

＝2cos－sin＝2255＋55＝5.

18．(12分)已知、为锐角，向量a＝(cos，sin)，b＝(cos，sin)，c＝12，－12.

(1)若ab＝22，ac＝3－14，求角2－的值；

(2)若a＝b＋c，求tan的值．

解析：(1)ab＝(cos，sin)(cos，sin)

＝coscos＋sinsin

＝cos(－)＝22.①

ac＝(cos，sin)12，－12

＝12cos－12sin＝3－14.②

又∵0＜＜2，0＜＜2，－2＜－＜2.

由①得－＝4，由②得＝6.

∵、为锐角，＝512.从而2－＝23.

(2)由a＝b＋c，可得cos＝cosa－12，③sin＝sin＋12.④

③2＋④2，得cos－sin＝12.

2sincos＝34.

又∵2sincos＝2sincossin2＋cos2＝2tantan2＋1＝34，

3tan2－8tan＋3＝0.

又∵为锐角，tan＞0，

tan＝882－4336＝8286＝473.

19．(12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋)A＞0，＞0，－2＜＜2一个周期的图像如图所示．

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)若f()＋f－3＝2425，且为△ABC的一个内角，

求sin＋cos的值．

解析：(1)由图知，函数的最大值为1，则A＝1，

函数f(x)的周期为T＝412＋6＝.

而T＝2，则＝2.

又x＝－6时，y＝0，sin2－6＋＝0.

而－2＜＜2，则＝3.

函数f(x)的表达式为f(x)＝sin2x＋3.

(2)由f()＋f－3＝2425，得

sin2＋3＋sin2－3＝2425，化简，得sin2＝2425.

(sin＋cos)2＝1＋sin2＝4925.

由于0＜＜，则0＜2＜2，

但sin2＝2425＞0，则0＜2＜，即为锐角，

从而sin＋cos＞0，因此sin＋cos＝75.

20．(12分)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC＝3acosB－ccosB.

(1)求cosB的值．

(2)若BABC＝2，b＝22，求a和c.

解析：(1)△ABC中，∵bcosC＝3acosB－ccosB，

由正弦定理，得sinBcosC＝3sinAcosB－sinCcosB，

sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，

sin(B＋C)＝sinA＝3sinAcosB.

∵sinA0，cosB＝13.

(2)∵BABC＝accosB＝13ac＝2，ac＝6.

∵b2＝8＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－4，

a2＋c2＝12，a2－2ac＋c2＝0，

即(a－c)2＝0，a＝c＝6.

21．(12分)已知△ABC是半径为R的圆的内接三角形，且2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB.

(1)求角C；

(2)试求△ABC面积S的最大值．

解析：(1)由2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB，

两边同乘以2R，得

(2RsinA)2－(2RsinC)2＝(2a－b)2RsinB，

根据正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，

a2－c2＝(2a－b)b，即a2＋b2－c2＝2ab.

再由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝22，

又0＜C＜，C＝4.

(2)∵C＝4，A＋B＝34.

S＝12absinC＝24(2RsinA)(2RsinB)＝2R2sinAsinB

＝2R2sinAsin34－A＝22R2sin2A－4＋12R2，

当2A－4＝2，即A＝38时，

S有最大值12＋22R2.

22．(12分)如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道．赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinx(A＞0，＞0)，x[0,4]的图像，且图像的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定MNP＝120.

(1)求A，的值和M，P两点间的距离；

(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

解析：方法一：

(1)依题意，

故NP+MN＝1033sin＋1033sin(60－)

＝103312sin＋32cos

＝1033sin(＋60)．

∵0＜＜60，当＝30时，折线段赛道MNP最长．

即将PMN设计为30时，折线段赛道MNP最长．

方法二：(1)同方法一；

(2)在△MNP中，MNP＝120，MP＝5，

由余弦定理，得

MN2＋NP2－2MNNPcosMNP＝MP2，

即MN2＋NP2＋MNNP＝25.

故(MN＋NP)2－25＝MNNPMN＋NP22，

从而34(MN＋NP)225，即MN＋NP1033，

当且仅当MN＝NP时等号成立．

即设计为MN＝NP时，折线段赛道MNP最长．