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等腰三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。

一.直接连线法

例1.已知，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=ED，B=E。

求证：C=D。

图1

证明：连结AC、AD

因为AB=AE，B=E，BC=ED

所以△ABC≌△AED

所以1=2，AC=AD

所以3=4

即1+3=2+4

所以C=D

例2.已知，DE为△ABC的BC边上的中垂线，交AC于D，垂足为E。

求证：AB。

图2

证明：连结BD。

因为BE=CE，DEBC

所以DB=DC

因为AB

所以AB

即AB

二.线段延长法

例3.已知△ABC中，A=Rt，AB=AC，BE平分ABC，且BECE于E。

求证：。

图3

证明：分别延长BA、CE交于F。

因为BECF，1=2

所以BF=BC

因为3=1，AC=BA，4=5=Rt

所以Rt△FCA≌Rt△DBA

所以FC=DB

因为

所以

例4.已知M、N分别为正六边形ABCDEF的边CD、DE的中点，BN与AM交于点P，则___________。

图4

解：延长AB、DC交于G，延长ED、AM交于H。

因为ABCDEF为正六边形

所以△BCG为正三角形

设AB=k，则BG=CG=k

因为DH//AG

所以

所以

所以

说明：例3延长图形中有关的线段，构成等腰三角形的底边，例4中应用了平行线分线段成比例的性质。

三.延长和连结相结合法

例5.已知在△ABC中，C=2B。

求证：。

图5

证明：延长BC到D，使CD=AC，连结AD。

因为1=2B，又因为1=2D，所以D=B

所以AB=AD

例6.已知ABD=ACD=60，ADB=90。

求证：△ABC为等腰三角形。

图6

证明：延长CD到E，使DE=DB，连结AE。

因为ADB=90

所以2ADB=180

所以1=2

所以△ABD≌△AED

所以ABD=E=60

所以△ACE为等腰三角形

所以AC=AE

所以△ABC为等腰三角形

例7.已知△ABC中，AB=AC，AD为高，BE为角平分线，EGBC于G，EFBE交BC于F。

求证：。

图7

证明：延长FE交BA延长线于H，取BH的中点M，连结EM并交AD于N。

因为1=2，BE=BE，BEH=BEF=90

所以△BHE≌△BFE

所以BH=BF，HE=FE

又因为HM=BM

所以EM//CB

所以△AME∽△ABC

又因为AB=AC，ADBC

所以AM=AE，ANME

所以

因为BEH=90，BM=HM

所以

即

因为四边形ENDG为矩形

所以

说明：例5中要解决如问题，构造顶角的外角为的等腰三角形，则可用等腰三角形顶角的外角等于一个底角的2倍这一性质。例6利用两腰相等证之。例7用的知识点较多，关键在于三线合一定理的应用。

四.作平行线法

例8.已知△ABC中，过BC中点D作直线交AB于E，交CA延长线于F，且AE=AF。

求证：BE=CF。

证明：过点C作CG//AB，交FD延长线于G。

图8

因为G=2，3=B，DB=CD

所以△CGD≌△BED

所以CG=BE

因为AE=AF

所以1=F

所以G=1=F

所以CG=CF

所以BE=CF

例9.已知四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别为AD、BC的中点，BA、CD的延长线分别与FE的延长线交于G、H。

求证：BGF=CHF。

图9

证明：连结BD，作EK//AB交BD于K，连结KF。

在△DAB中，E为AD中点，EK//AB

所以K为BD中点，

所以

同理

因为AB=CD

所以1=2

即3=4

所以BGF=CHF

说明：作平行线构成等腰三角形的腰和底。

五.作垂线法

例10.已知△ABC中，B=2A，AB=2BC。

求证：△ABC是直角三角形。

图10

证明：作AB的中垂线DE，交AC于D，交AB于E，连结BD。

因为DEAB，AE=BE

所以AD=BD

所以2=A

因为ABC=2A

所以1=2

因为AB=2BC

所以BE=BC

所以△EDB≌△CDB

所以C=3=Rt

所以△ABC是直角三角形

说明：作三角形一边的中垂线，构造成等腰三角形的两腰。

六.作截线法

例11.已知△ABC中，ADBC于D，AB+BD=DC。

求证：B=2C。

图11

证明：在DC上截取DE=BD，连结AE。

因为ADBE，ED=BD

所以AD为BE的中垂线

所以AB=AE，1=B

因为AB+BD=DC，EC+ED=DC

所以AB=EC

所以AE=EC

所以1=2C

即B=2C

说明：若图形中有垂线，则把垂线看作为等腰三角形底边上的高，用截取的方法构造等腰三角形的腰和底。

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